Правильно
Ігоря – згідно з правилами сучасної української мови ім’я “Ігор” у родовому відмінку говориться і пишеться з буквою “я” в кінці слова – “Ігоря”. Написання цього імені є виключенням із правил відмінювання імен, що закінчуються в називному відмінку на -р (Ігор – Ігоря, Лазар – Лазаря).
Ми запросили Ігоря на зустріч
Ігоря покликали додому
Нікому немає діла до Ігоря
Запрошення для Ігоря Івановича
Неправильно
Ігора – сьогодні такий варіант написання імені являється неправильним, але з приводу цього серед мовознавців ведуться суперечки. Багато хто вважає, що форма “Ігоря” не відповідає сучасній українській мові і являється офіційно закріпленим русизмом.